مقاربة تاريخية لميكانيك نيوتن

1. مفاهيم أساسية

الجملة الميكانيكية

هي جسم أو جزء من جسم أو مجموعة أجسام محدودة، نختارها بهدف دراستها.

النقطة المادية

يمكن اعتبار جملة ميكانيكية كنقطة مادية إذا كانت أبعادها مهملة أمام أبعاد الحركة التي تقوم بها أو أمام المرجع الذي تُدرس فيه.

المرجع (المعلم)

إن الحركة والسكون مفهومان نسبيان، لذا لدراسة أي حركة، يجب إسنادها إلى جسم صلب آخر يُسمى المرجع. يرتبط المرجع بمعلم فضاء وزمان لتحديد موضع المتحرك في كل لحظة.

المرجع العطالي (الغاليلي)

هو كل مرجع يتحقق فيه مبدأ العطالة (القانون الأول لنيوتن). يُعتبر المرجع ساكناً أو يتحرك بحركة مستقيمة منتظمة بالنسبة لمرجع عطالي آخر.

---

أنواع المراجع العطالية

المرجع الهيليومركزي (الشمسي)

المركز: مركز الشمس.
المحاور: موجهة نحو ثلاثة نجوم بعيدة نعتبرها ثابتة.
الاستعمال: يُستخدم لدراسة حركة الكواكب والمذنبات حول الشمس. يعتبر المرجع الأكثر دقة.

المرجع الجيومركزي (الأرضي)

المركز: مركز الأرض.
المحاور: موازية لمحاور المرجع الهيليومركزي.
الاستعمال: يُستخدم لدراسة حركة الأقمار الاصطناعية حول الأرض.

المرجع السطحي الأرضي

المركز: نقطة على سطح الأرض.
الاستعمال: يُستخدم لدراسة الحركات التي تتم على سطح الأرض ولمدة زمنية قصيرة (مثل حركة قذيفة، سقوط الأجسام).

---

2. مميزات الحركة (في معلم ديكارتي)

شعاع الموضع $\vec{r}$

هو الشعاع الذي يحدد موضع المتحرك $M$ في كل لحظة $t$.

$$\vec{r} = \vec{OM} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}$$

طويلته (المسافة من المبدأ):

$$r = ||\vec{r}|| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$$

شعاع السرعة $\vec{v}$

هو مشتق شعاع الموضع بالنسبة للزمن. يكون دائماً مماسيًا للمسار وموجهًا في جهة الحركة.

$$\vec{v} = \frac{d\vec{r}}{dt} = \frac{dx}{dt}\vec{i} + \frac{dy}{dt}\vec{j} + \frac{dz}{dt}\vec{k}$$

مركباته:

$$\vec{v} = v_x\vec{i} + v_y\vec{j} + v_z\vec{k}$$

طويلته (مقدار السرعة):

$$v = ||\vec{v}|| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2}$$

شعاع التسارع $\vec{a}$

هو مشتق شعاع السرعة بالنسبة للزمن. يكون حامله موجهًا نحو تقعر المسار.

$$\vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt} = \frac{d^2\vec{r}}{dt^2}$$

مركباته الديكارتية:

$$\vec{a} = \frac{dv_x}{dt}\vec{i} + \frac{dv_y}{dt}\vec{j} + \frac{dv_z}{dt}\vec{k} = a_x\vec{i} + a_y\vec{j} + a_z\vec{k}$$

طويلته:

$$a = ||\vec{a}|| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2}$$

مركبات التسارع في معلم فريني (الإحداثيات المنحنية)

يُستخدم لدراسة الحركات المنحنية. يتكون من محورين:

1. المحور المماسي ($\vec{u}_T$): مماسي للمسار وفي جهة الحركة.
2. المحور الناظمي ($\vec{u}_N$): عمودي على المماسي وموجه نحو مركز تقوس المسار.

$$\vec{a} = a_T \vec{u}_T + a_N \vec{u}_N$$

• التسارع المماسي $a_T$: مسؤول عن تغير قيمة (طويلة) السرعة. $$a_T = \frac{dv}{dt}$$
• التسارع الناظمي $a_N$: مسؤول عن تغير حامل (اتجاه) شعاع السرعة. $$a_N = \frac{v^2}{R}$$ حيث $R$ هو نصف قطر انحناء المسار.

3. أنواع الحركات

طبيعة الحركة	الشروط
مستقيمة منتظمة	$\vec{a} = \vec{0}$ (التسارع معدوم)
مستقيمة متغيرة بانتظام	$\vec{a} = \text{const}$ و $a_N = 0$ (المسار مستقيم)
متسارعة	$\vec{a} \cdot \vec{v} > 0$ (جداء سلمي موجب)
متباطئة	$\vec{a} \cdot \vec{v} < 0$ (جداء سلمي سالب)
دائرية منتظمة	$a_T = 0$ (السرعة ثابتة في القيمة) و $a_N = \frac{v^2}{R} = \text{const}$
دائرية متغيرة بانتظام	$a_T = \text{const}$ و $a_N = \frac{v^2}{R}$ (متغير)

4. قوانين نيوتن الثلاث

القانون الأول (مبدأ العطالة)

في معلم غاليلي، إذا كان المجموع الشعاعي للقوى الخارجية المؤثرة على جملة مادية معدومًا، فإن مركز عطالتها يحافظ على سكونه أو حركته المستقيمة المنتظمة.

$$\sum \vec{F}_{ext} = \vec{0} \iff \vec{v}_G = \vec{\text{const}}$$

(الجملة معزولة أو شبه معزولة)

القانون الثاني (المبدأ الأساسي للتحريك)

في معلم غاليلي، المجموع الشعاعي للقوى الخارجية المؤثرة على جملة يساوي في كل لحظة جداء كتلتها في شعاع تسارع مركز عطالتها.

$$\sum \vec{F}_{ext} = m \vec{a}_G$$

القانون الثالث (مبدأ الفعلين المتبادلين)

إذا أثرت جملة A على جملة B بقوة $\vec{F}_{A/B}$، فإن الجملة B تؤثر على الجملة A بقوة $\vec{F}_{B/A}$ بحيث:

$$\vec{F}_{A/B} = - \vec{F}_{B/A}$$

القوتان لهما نفس الحامل، نفس الشدة، ومتعاكستان في الاتجاه.

---

دراسة حركة الكواكب والأقمار الاصطناعية

تتم الدراسة عادة في مرجع مركزي (هيليومركزي للكواكب، جيومركزي للأقمار) والذي نعتبره غاليليًا. القوة الوحيدة المؤثرة (بإهمال تأثيرات أخرى) هي قوة التجاذب الكوني.

1. قانون الجذب العام لنيوتن

كل جسمين نقطيين كتلتيهما $m_A$ و $m_B$ والمسافة بين مركزيهما $r$، يؤثر كل منهما على الآخر بقوة جذب متساوية في الشدة ومتعاكسة في الاتجاه.

$$F_{A/B} = F_{B/A} = G \frac{m_A m_B}{r^2}$$

حيث $G$ هو ثابت الجذب العام وقيمته $G \approx 6.67 \times 10^{-11} \text{ N.m}^2/\text{kg}^2$.

2. خصائص حركة دائرية منتظمة

• المسار: دائري نصف قطره $r$.
• السرعة $v$: ثابتة في القيمة ومتغيرة في الاتجاه (مماسية للمسار).
• التسارع $a$: ناظمي (مركزي)، موجه نحو المركز وقيمته ثابتة. $a = a_N = \frac{v^2}{r}$.
• الدور $T$: هو الزمن اللازم لإنجاز دورة كاملة. $T = \frac{2\pi r}{v}$.

3. السرعة المدارية ودور قمر صناعي (أو كوكب)

بتطبيق القانون الثاني لنيوتن على قمر (كتلته $m$) يدور حول كوكب (كتلته $M$) في مدار دائري نصف قطره $r$:

$$\sum \vec{F}_{ext} = \vec{F}_{M/m} = m \vec{a}$$

بالإسقاط على المحور الناظمي:

$$G \frac{M m}{r^2} = m a_N = m \frac{v^2}{r}$$

السرعة المدارية $v$

$$v = \sqrt{\frac{G M}{r}}$$

نلاحظ أن السرعة لا تتعلق بكتلة القمر $m$، بل بكتلة الكوكب المركزي $M$ والبعد $r$.

الدور المداري $T$

$$T = \frac{2\pi r}{v} = \frac{2\pi r}{\sqrt{\frac{GM}{r}}} \implies T = 2\pi \sqrt{\frac{r^3}{GM}}$$

4. قوانين كبلر الثلاث

القانون الأول (قانون المدارات)

تدور الكواكب حول الشمس في مدارات إهليلجية (بيضاوية)، تمثل الشمس إحدى بؤرتيها.

القانون الثاني (قانون المساحات)

المستقيم الرابط بين الكوكب والشمس يمسح مساحات متساوية خلال فترات زمنية متساوية. هذا يعني أن سرعة الكوكب تكون أكبر عندما يكون قريبًا من الشمس (الحضيض) وأصغر عندما يكون بعيدًا عنها (الأوج).

القانون الثالث (قانون الأدوار)

مربع الدور المداري $T$ لكوكب يتناسب طردًا مع مكعب نصف طول المحور الكبير $a$ لمداره.

$$\frac{T^2}{a^3} = K = \text{const}$$

هذا الثابت $K$ يعتمد فقط على كتلة الجرم المركزي (الشمس). بالنسبة للمدارات الدائرية ($a=r$):

$$T^2 = \left( \frac{4\pi^2}{GM} \right) r^3 \implies \frac{T^2}{r^3} = \frac{4\pi^2}{GM}$$

5. القمر الاصطناعي الجيومستقر

هو قمر اصطناعي يبدو ثابتًا بالنسبة لنقطة على سطح الأرض. شروطه:

1. الدور: دوره يساوي دور الأرض حول نفسها ($T = 24$ ساعة).
2. جهة الدوران: يدور في نفس جهة دوران الأرض.
3. المدار: مداره دائري ويقع في مستوي خط الاستواء.

---

دراسة حركة السقوط الشاقولي لجسم صلب

1. القوى المؤثرة في مائع (الهواء)

قوة الثقل $P$

دائماً شاقولية نحو الأسفل.

$$\vec{P} = m\vec{g}$$

دافعة أرخميدس $\Pi$

دائماً شاقولية نحو الأعلى. تساوي ثقل المائع المزاح.

$$\vec{\Pi} = -\rho_{fluid} V_{obj} \vec{g}$$

حيث $\rho_{fluid}$ هي الكتلة الحجمية للمائع و $V_{obj}$ هو حجم الجسم المغمور.

قوة الاحتكاك $f$

تعاكس جهة الحركة. تتعلق سرعتها بالجسم.

• في السرعات الصغيرة: $f = k v$
• في السرعات الكبيرة: $f = k v^2$

2. المعادلة التفاضلية للحركة

بتطبيق القانون الثاني لنيوتن على المحور الشاقولي الموجه نحو الأسفل:

$$\sum F_z = P_z + \Pi_z + f_z = ma_z$$ $$mg - \Pi - f = m \frac{dv}{dt}$$

وبالتعويض بعبارة دافعة أرخميدس $\Pi = \rho_f V g$:

$$mg - \rho_f V g - k v^n = m \frac{dv}{dt}$$

الحالة الشائعة (سرعات صغيرة، $f = kv$):

$$m \frac{dv}{dt} + kv = mg - \rho_f V g$$ $$\frac{dv}{dt} + \frac{k}{m}v = g\left(1 - \frac{\rho_f V}{m}\right) = g\left(1 - \frac{\rho_f}{\rho_{obj}}\right)$$

3. النظامان الانتقالي والدائم والسرعة الحدية $v_{lim}$

• النظام الانتقالي: في بداية السقوط، تكون السرعة متزايدة والتسارع متناقص.
• النظام الدائم: عندما تتوازن القوى، يصبح التسارع معدومًا ($a=0$) وتثبت السرعة عند قيمة عظمى تسمى السرعة الحدية ($v_{lim}$).

من المعادلة التفاضلية، عندما $dv/dt = 0$:

$$mg - \Pi - f_{lim} = 0 \implies v_{lim} = \text{const}$$

مثال (سرعات صغيرة):

$$k v_{lim} = mg - \Pi \implies v_{lim} = \frac{g}{k}\left(m - \rho_f V\right)$$

4. السقوط الحر

هو حالة مثالية حيث نهمل جميع القوى ما عدا الثقل ($\Pi=0$, $f=0$). بتطبيق القانون الثاني لنيوتن:

$$\vec{P} = m\vec{a} \implies m\vec{g} = m\vec{a} \implies \vec{a} = \vec{g}$$

الحركة مستقيمة متغيرة بانتظام (متسارعة). المعادلات الزمنية (باعتبار $v_0$ و $y_0$):

• التسارع: $a(t) = g$
• السرعة: $v(t) = gt + v_0$
• الموضع: $y(t) = \frac{1}{2}gt^2 + v_0 t + y_0$

---

دراسة حركة القذيفة

ندرس حركة جسم (قذيفة) كتلته $m$ يُقذف بسرعة ابتدائية $v_0$ تصنع زاوية $\alpha$ مع الأفق، مع إهمال جميع القوى ما عدا الثقل.

1. تحديد طبيعة الحركة

• الجملة: القذيفة.
• المرجع: سطحي أرضي (غاليلي).
• القوى: الثقل $\vec{P}$ فقط.
• الشروط الابتدائية (عند $t=0$): $\vec{r}_0 = (x_0, y_0)$ و $\vec{v}_0 = (v_{0x}, v_{0y})$
  • $v_{0x} = v_0 \cos \alpha$
  • $v_{0y} = v_0 \sin \alpha$

تطبيق القانون الثاني لنيوتن $\vec{P} = m\vec{a}$:

$$m\vec{g} = m\vec{a} \implies \vec{a} = \vec{g}$$

بالإسقاط على المحورين:

• المحور Ox: $a_x = 0$ (حركة مستقيمة منتظمة)
• المحور Oy: $a_y = -g$ (حركة مستقيمة متغيرة بانتظام)

2. المعادلات الزمنية للحركة

بمكاملة التسارع بالنسبة للزمن مرتين:

السرعة

$$\begin{cases} v_x(t) = v_0 \cos \alpha \\ v_y(t) = -gt + v_0 \sin \alpha \end{cases}$$

الموضع

$$\begin{cases} x(t) = (v_0 \cos \alpha)t + x_0 \\ y(t) = -\frac{1}{2}gt^2 + (v_0 \sin \alpha)t + y_0 \end{cases}$$

3. معادلة المسار

هي العلاقة بين $y$ و $x$ (مستقلة عن الزمن $t$). من معادلة $x(t)$ نجد:

$$t = \frac{x}{v_0 \cos \alpha}$$

نعوض $t$ في معادلة $y(t)$ (باعتبار $x_0=0, y_0=0$):

$$y(x) = -\frac{1}{2}g\left(\frac{x}{v_0 \cos \alpha}\right)^2 + (v_0 \sin \alpha)\left(\frac{x}{v_0 \cos \alpha}\right)$$ $$y(x) = \left(-\frac{g}{2v_0^2 \cos^2 \alpha}\right)x^2 + (\tan \alpha)x$$

وهي معادلة قطع مكافئ (شلجم) تقعره نحو الأسفل.

4. ذروة القذيفة والمدى

ذروة القذيفة (S)

هي أعلى نقطة يصلها المقذوف. عندها، تنعدم المركبة الشاقولية للسرعة ($v_y = 0$).

• زمن بلوغ الذروة $t_S$: $v_y(t_S) = -gt_S + v_0 \sin \alpha = 0 \implies t_S = \frac{v_0 \sin \alpha}{g}$
• ارتفاع الذروة $y_S$: $y_S = y(t_S) = \frac{v_0^2 \sin^2 \alpha}{2g}$

مدى القذيفة (P)

هو المسافة الأفقية التي تقطعها القذيفة عندما تعود إلى ارتفاعها الابتدائي ($y_P = 0$).

• زمن بلوغ المدى $t_P$: $y(t_P) = t_P(-\frac{1}{2}gt_P + v_0 \sin \alpha) = 0 \implies t_P = \frac{2v_0 \sin \alpha}{g} = 2t_S$
• إحداثي المدى $x_P$: $x_P = x(t_P) = \frac{2v_0^2 \sin \alpha \cos \alpha}{g} = \frac{v_0^2 \sin(2\alpha)}{g}$ يكون المدى أعظميًا عندما $\sin(2\alpha) = 1$، أي $2\alpha = 90^\circ \implies \alpha = 45^\circ$.

---

حدود ميكانيك نيوتن

ميكانيك نيوتن يصف بدقة حركة الأجسام على المقياس العياني وبسرعات صغيرة أمام سرعة الضوء. لكنه يصبح غير صالح في حالتين:

1. المستويات الذرية وتحت الذرية: هنا تظهر ميكانيك الكم.
2. السرعات العالية القريبة من سرعة الضوء: هنا تظهر النظرية النسبية.

1. فرضية بلانك-أينشتاين (تكميم الطاقة)

الطاقة المتبادلة بين الضوء والمادة لا تأخذ قيمًا مستمرة، بل هي مكمّمة (Quantized)، أي تأتي على شكل حزم (كمّات) من الطاقة تسمى الفوتونات.

طاقة الفوتون الواحد:

$$E = h \nu = h \frac{c}{\lambda}$$

• $E$: طاقة الفوتون (Joule).
• $h$: ثابت بلانك ($h \approx 6.62 \times 10^{-34} \text{ J.s}$).
• $\nu$: تواتر الإشعاع (Hz).
• $c$: سرعة الضوء في الفراغ ($c \approx 3 \times 10^8 \text{ m/s}$).
• $\lambda$: طول الموجة في الفراغ (m).

2. نموذج بور ومستويات الطاقة في الذرة

• لكل ذرة مستويات طاقة محددة ومكمّمة. لا يمكن للإلكترون أن يتواجد إلا في هذه المستويات.
• المستوى الأساسي ($n=1$): أدنى مستوى طاقة، تكون فيه الذرة في حالتها المستقرة.
• المستويات المثارة ($n > 1$): مستويات طاقة أعلى.
• الانتقال بين المستويات:
  • الامتصاص: عند امتصاص الذرة لفوتون طاقته $E$ تساوي تمامًا الفرق بين مستويين $|E_f - E_i|$، ينتقل إلكترون من مستوى أدنى $E_i$ إلى مستوى أعلى $E_f$.
  • الإصدار (الانبعاث): عند انتقال إلكترون من مستوى طاقة أعلى $E_i$ إلى مستوى أدنى $E_f$، تصدر الذرة فوتونًا طاقته $E$ تساوي تمامًا الفرق بين المستويين.

$$\Delta E = |E_{final} - E_{initial}| = h\nu$$

مثال: ذرة الهيدروجين تعطى طاقة المستويات بالعلاقة:

$$E_n = -\frac{13.6}{n^2} \quad (\text{eV})$$

حيث $1 \text{ eV} = 1.6 \times 10^{-19} \text{ J}$.